dの正体は？

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微分と積分で使う記号のdについて質問です。 

dx/dtは「xをtで微分する」という意味の記号ですが、積分でこれを使うときは∮f(x)dxのようにdxの部分だけを書くことがあります。

また、置換積分では★のようにdx/dtを分数のように扱い、その分母を払っています。

しかし、dx/dtは分数ではない、とあります。 

 dx/dt=g’(t)のときdx=g’(t)dt・・・★ 

 そこで質問なのですが、数学で使うdの記号とはいったい何なのでしょうか？
これは値として扱って良いものなのでしょうか？
また、置換積分などの際に、★のように変形できるのは何故ですか？ 
 教科書や参考書を見ると、★のように変形できる、とだけサラッと書かかれていますが、その理論までは書かれてなく、dの正体がいまいちわかりません

:

私も同じ疑問を持っていたのだが、こんな説明があった。

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微分の記号dy/dxは分数扱いしてよいのか？

結論は　「　よい　」　だが　その理由がわからない。

分数じゃないのだが、分数扱いしてよい　という難解なところについてインターネットで調べてみた。

色々な説明がある。

1)

「置換積分法」という概念として理解するべきだと思います。

教科書などでは良く次のように書かれています。

∫ f(x) dx = ∫ f(g(t)) g'(t) dt
（例えば http://naop.jp/text/3/seki3.html）

g'(t) というのは dg/dt のことなので、
関数の引数の記載を省略すると、
∫ f dx = ∫ f dg/dt dt

という風に書けます。

2) 

「両辺にｄｘをかける」という操作を正当化してみましょう. 例えば,
[1] dy/dx = x^2
について考えます. 両辺は x についての関数なので, 両辺を x で積分すると,
[2] ∫ (dy/dx) dx = ∫ x^2 dx.
ここで, (左辺) は置換積分(これ自体も約分するが如き操作ですが)により,
(左辺) = ∫ (dy/dx) dx = ∫ dy
となります. よって (**) は
[3] ∫ dy = ∫ x^2 dx
となります(これを解けば y = (1/3)x^3 + C となるでしょう).

3)

物理で微小長さｄｘとかを考えて，式を立て，式変形すると，よくｄｙ/ｄｘのような形になるので，疑問に思います．
> 微小長さを微小長さで割ってるだけなのに，扱いが，ｙをｘで微分したようになるのがピンときません

すみません, 物理学を知らないので正確な所は分かりませんが. おそらくそれは微小長さ dx の 2 次以上の項を無視しているのではないでしょうか.

例えば(ご存知かどうかわかりませんが)テイラーの定理(あるいはマクローリン展開)により
f(x+Δx) = f(x) + f'(x) Δx + (1/2) f''(x) (Δx)^2 + …
が成り立ちますが, 微小長さ Δx に関して 2 次以上を無視すれば(限りなく 0 に近いので 0 と思って代入すれば)
f(x+Δx) ≒ f(x) + f'(x) Δx
となり, ここで Δy = f(x+Δx) - f(x) なので,
Δy ≒ f'(x) Δx, すなわち, Δy/Δx ≒ f'(x) = dy/dx
を得ます.

4)

解析概論』 高木貞治

或る区間において，変数 x の函数 y = f(x) が与えられているとする．独立変数の二つの値 x，x1 に対応する函数の値を y，y1 として，
x1-x=Δx, y1-y=Δy
と略記する．然らば
Δy/Δx = (y1-y)/(x1-x)
は x と x1 との間の区間における函数 f の平均の変動率である． 今 x を固定して， | Δx | を限りなく小さくするとき
lim[ Δx→0] Δy/Δx
なる極限値が存在するならば，それは函数 f の点 x における変動率ともいうべきものであろう．この極限値を記号
dy/dx
で表わす． Δx，Δy などは伝統的の記号であるが，もしも Δx の代りに h と書けば
dy/dx=lim[ h→0] {f(x+h)-f(x)}/h
上記の極限値が存在するとき，函数 f は点 x において微分可能であるという．
もしも或る区間の各点 x において y = f(x) が微分可能ならば， f(x) はその区間において微分可能であるという．その場合，極限値 dy/dx は x の函数である．その函数を f の導函数といい，それを記号 f' で表わす．すなわち上記条件の下において
dy/dx=f'(x).
記号 dy/dxは Leibniz からの伝統である．f'(x) は Lagrange の用例である．f(x) を y で表わす場合には，f '(x) を y' または ・y で表わす．・y は Newton の用例である．Cauchy は Dx y または Dxf(x) なる記号を用いた．独立変数を特記するに及ばないときには，添字を略して D と書く．
dy/dx=f'(x)=・y=D_x y=Dy.
これらの記号は一長一短である．現今は拘泥しないで，場合に応じて便宜流用する.
導函数（derived function，略して derivative）とは‘微分法によって f(x) から導き出される函数’ということの略称である．導函数 f'(x) は区間に関する称呼であるが，一点 x における dy/dx すなわち lim[ Δx→0] Δy/Δx は Newton のいわゆる‘流動率’（fluxion）である．ドイツ系統では，Leibniz の伝統に従って，この極限値 dy/dx を微分商（Diflerentialquotient）といっているが，英米系統では，それを改称して微分係数（differential coefficient）という.フランス系では，微分商も導函数も共に dériveé という.

Δx，Δy はグラフの上での点の座標の変動であるが，もしもグラフの代りに接線を取って，接線上における点 (X,Y) の座標の変動を dx，dy で表して，dx = X − x（それはΔxと同一），また，dy = Y − y（それはΔyとは違う)とするならば
dy = f'(x)dx ------ (1)
は点 (x,y) における接線の方程式にほかならない．そのように dx，dy を単独に定義すれば，(1) の意味は明確である．しかし我々は点 (x,y) の近傍においてのみ (1) を用いるつもりであるから， dx を変数 x の微分（diferential），dy をそれに対応する函数 y の微分という.
上文で接線というような耳慣れた言葉を用いて，dy/dx は接線の勾配などといったけれども，実際は，それは接線を定義したのにすぎない.すなわち dy/dx が存在するときに，点 (x,y)において dy/dx を勾配とする直線を y = f(x) の接線というのてある．よって今一度 Δy/Δx から出直してみよう．
・・・・・ ( 中略 ）

dy = f'(x)dx. ------------- (5)
これを
dy/dx=f'(x)
と書くならば，記号 dy/dx において dx および dy が各々独立の意味を有するから，dy/dx は商としての意味を有する．すなわち‘微分商’というものである．
このように，現代的の精密論法によって，Leibniz の漠然たる‘微分商’が合理化される．また (5) によれば，f'(x) は微分 dy における dx の係数であるから，それを‘徴分係数’というのも，もっともではある．

5)
dx,dy等の記号について質問です。

dx/dy×dyというのは分数のように計算してdxとしてよいのでしょうか

例えば∫x dx/dy ×dyだったら ∫xdx としてよいのですか？

:

∫x dx/dy ×dy= ∫xdxとして問題ありません。
ただ、これはdyで割り算できたのではなく、置換積分したら"形式的"にdyで割り算したように見えるというだけなので、dx/dy×dy=dxとしてはいけません。

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(置換積分)

以上　(10/24記)

(追記)

[142] dx とか dy って結局は分数みたいに使っていいの？微分と無限小について

dy,dxの記号的意味

以上(11/3記)